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Curso de Wolfram Mathematica

Lecciones del Curso Gratuito

Números Enteros y Racionales

En este primer vídeo vamos a ver cómo podemos trabajar con números enteros y racionales en matemática escribimos 5 + 8 pulsamos mayúsculas enter y nos devuelve 3 vamos a escribir a la 79 otra vez mayúsculas enter y nos da menos 2 para hacer la multiplicación lo podemos hacer de dos formas escribimos 56 asterisco 45 y nos da este resultado también podemos hacer lo siguiente 56 la barra espaciadora pulsamos 45 y vemos que matemática escribe el signo x lo ejecutamos y aquí tenemos el resultado ahora vamos a hacer una división 48 dividido entre 30 y lo que hace matemática es que lo trata como una fracción y nos da la fracción y reducir que es 8 quintos si lo que queremos es el resultado decimal lo que podemos hacer es poner en cualquiera de estos números un punto así matemática entiende que es un número con decimales y asia la cuenta con decimales 1,6 bueno además de estas formas de hacer las operaciones debido al diseño de matemáticas se pueden hacer de otras formas que es utilizando funciones todas estas de aquí sirven para hacer lo mismo vamos a hacer la suma con la función plus y escribimos plus abrimos un corchete y escribimos 5,8 los argumentos son 5 y 8 lo que nos va a hacer es sumar 5 y 8 podríamos sumar también más números por ejemplo si le sumamos otro 2 nos tiene que dar 15 para restar utilizamos la función sus atrás aquí la tenemos y escribimos 7,9 y lo que hace en este caso es restar la función minus lo que hace es que cambia el signo minus si lo aplicamos al 3 nos devuelven menos 3 times lo que hace es multiplicar 56 por 25 obtenemos el mismo resultado que anteriormente y divide pues hace lo que hacía la barra de división sí no 30 aquí tenemos si ponemos un punto en alguno de ellos punto pues nos hace la cuenta como decimales vamos a ver ahora cómo se hacen las potencias.

Números Decimales y Radicales

El separador de los decimales en matemática es el punto como prácticamente en todos los programas vamos a hacer una suma que se hace de la misma manera 3.56 + 7.9 ejecutamos y nos da 11.46 este número que hemos obtenido que es un número decimal lo damos a cerrar esta suma no en un número nacional para ello utilizamos la función racional y como vemos matemática nos da aquí una ayuda todas las funciones que comienzan por radio está seleccionada a la primera si pulsamos enter la tenemos abrimos un corchete y ahora queremos escribir este número lo podríamos escribir a mano pero si escribimos el tanto por ciento le estamos diciendo a matemática que ahí escriba el último resultado que matemática nos ha proporcionado y nos da esta fracción que aquí está la fracción irreducible que da lugar a este número vamos a comprobar 57 3 dividido entre 50 y ahora de ello le ponemos un número aquí lo tenemos vamos a hablar como una operación de división que se hace de la misma manera 3.56 dividido entre 78 puntos como son decimales nos da el resultado en decimales nos lo dan con seis cifras significativas son que internamente en matemática trabaja con más vamos con las potencias 1.34 elevado a 5 aquí tenemos el resultado ahora vamos con una potencia un poco más el 4.6 acabado a 50 bueno y el resultado el ganador en notación científica como ocurre en las calculadoras cuando el número es lo suficientemente grande bueno la notación científica.

Funciones Elementales

Dentro de los cientos de funciones que tiene matemáticas predefinidas vamos a ver en este tema algunas de las más gente primero nos apuntes sobre matemática matemática es case en sí eso quiere decir que distingue entre mayúsculas y minúsculas lo tenemos que escribir todo de la misma manera que se escribe aquí no podemos cambiar una letra mayúscula por una menos luego todas las funciones de matemática predefinidas empiezan por mayúscula y después de la función siempre van corchetes no pueden ir paréntesis que es lo que normalmente hacemos en matemáticas y también todos los argumentos se separan por coma bueno vamos a ver primero algunas funciones para realizar la función más elemental para redondear es round si se lo aplicamos por ejemplo a 36 nos devuelve el entero más cercano en este caso tiene que ser 4 aquí lo vemos flor hace también un redondeo pero en este caso es un redondeo siempre abajo beijing podemos empezar a escribir de 36 redondea al alza siempre y también tenemos unas funciones especiales que se llaman entregar part que si lo aplicamos a 36 nos después de la parte entera y la parte extracción área de esa misma cantidad 3.6 posees el 06 si nosotros por ejemplo hacemos interior paz 36 más la parte fraccionaria de 36 pues nos tiene que dar el número 36 bueno ahora vamos con las funciones trigonométricas las funciones trigonométricas se escriben como todas en mayúscula y la primera de ellas que vamos a ver es el seno cual posee una j boscos aquí escribimos y que es una constante predefinida dividido entre 3 el coseno en matemáticas siempre van radiales aquí tenemos que el consejo de tercios que 60 es hombre vamos ahora a ver el seno de medios primarios es 90 el seno del pri medios es 1 y la tangente de 2 porque dividido entre 3 – raíz de 3 ahora vamos a calcular el coche no todos los días es que no has universal por lo tanto no lo dejas y lo vamos a aproximar con unos cuantos decimales por ejemplo con 40 victimales aquí tenemos el seno de dos radiales con 40 si queremos hacer los cálculos en grados debemos multiplicar por una constante que tiene predefinida matemática que se llama degree.

Divisibilidad

La divisibilidad es la parte más elemental de la teoría de números muchos de los resultados que veremos aquí se remontan ya a los chicos buenos elementos de euclides aparecen algunos teoremas referentes a lo que nosotros vamos a ver aquí bueno pues vamos a hacer estas divisiones con resto si queremos conseguir el cociente de una división escribimos este comando 74 primero escribimos el dividendo y luego escribimos el dibise y lo ejecutamos y nos dice que el cociente es 1 si queremos el resto utilizamos mod y hacemos lo mismo 74 y nos dice que es 3 como fácilmente podemos comprobar y si queremos los dos puntos pues escribimos el comando que tenemos aquí que engloba a los dos anteriores aquí tenemos la división el primer resultado es el cociente y el segundo es el resto vamos con otra división vamos a hacer 89 entre 33 seguimos así y nos da todos del cociente y 23 de los y ahora vamos a ver cómo se comporta matemática por los números negativos puesto que en esto varían con respecto a muchos programas si hacemos esto nos dice que el cociente es menos 2 y el resto es 3 podemos comprobar que menos 2 por 4-3 efectivamente nos da menos 5 ahora vamos a trabajar con los números primos el principal comando para trabajar con números primos es 1er vamos a leer si escribimos médico inscribimos dentro un número nos dice si es o no explicó 77 vamos a ver otro en el mismo puesto que espada vamos a ver el siguiente 43 23 este tampoco es primo es compuesto y el último de todos 2 elevado a 32 más 1 tampoco estoy bueno la siguiente función importante es primero que la tenemos aquí que nos dice los primos si escribimos prime 1 nos dicen primero primo que existe que es el 2 si escribimos primeros nos dice el segundo primo y si escribimos el trenton adelante y vamos a escribirlo en 168 168 lo tenemos aquí y es 997 el siguiente número primo ya se pasa de mí pues vamos a ver cómo se puede calcular el número primo que sigue para ello tenemos que utilizar la función konex pedimos 1000 y nos dice que el siguiente número primo es 1000 bueno pero esta función se le puede poner un segundo argumento.

Polinomios

Después de trabajar con cualquier expresión algebraica en particular con polinomios y hacer operaciones con ellos vamos a hacer todas estas operaciones que vienen aquí empezamos escribiendo x al cubo más además paréntesis 3x al cuadrado no es necesario escribir un x entre el número y la variable más 7 cerramos paréntesis tampoco es necesario escribir más por cuanto hay transparentes y seguidos 4x menos 1 + 2 x menos 3 todo ello para la cuarta lo ejecutamos y vemos que matemática no ha hecho lo que tenemos que hacer es decirle que desarrolle esta operación y eso se consigue con el comando span el comando spam desarrolla el polinomio aquí tenemos el resultado una cosa curiosa de matemática es que en principio y por defecto escribe los polinomios al revés de lo que estamos acostumbrados el primer término siempre es el de menor vamos ahora a hacer el cuadrado de indica y 4 x al cuadrado + 5 todo ello al cuadrado y lo vamos a desarrollar ahora vamos a poner la doble barra y la función spa y aquí tenemos desarrollado el cuadro del vino y matemática puede trabajar con cualquier número de variables vamos a trabajar con todos para conseguir el cubo del vino x + y al cubo de los desarrollados aquí tenemos la fórmula del cubo lo que vamos a hacer ahora es realizar divisiones con restos las divisiones con restos se realizan prácticamente igual que si fuesen números enteros lo único que también son las funciones para hacer esta división que tenemos aquí tenemos que utilizar estas funciones para calcular el cociente escribimos polinomio y aquí lo elegimos consciente tenemos que escribir lo siguiente primero escribimos el dividendo x al cubo más 5 x al cuadrado menos 3 x más 2 una coma después el divisor 4x menos 3 y luego después de una coma la letra con la que estamos trabajando que en general será la letra x tenemos ya nuestro cociente lo vamos a guardar en una variable 0 para después poderlo utilizar y comprobar la división vamos ahora con el resto lo vamos a abordar una variable r y hacemos lo mismo es empezamos a escribir y aquí tenemos nuestra función el resto por dinámica hacemos lo mismo tenemos que escribir lo mismo que tenemos lo podemos copiar y lo ejecutamos el resto.

Fracciones Alegebraicas

En este video se simplifican fracciones y se opera con ellas. Se factorizan y se descomponen en fracciones simples.

Ecuaciones y Sistemas

Principales utilidades de matemática la resolución de ecuaciones y sistemas vamos a ver como sea lo primero que tenemos que tener en cuenta es que el signo igual que utilizamos en matemáticas en matemáticas se escribe siempre con dos signos iguales el signo igual está reservado para asignar variables y los sistemas siempre se escriben entre llaves las ecuaciones y separadas por cosas bueno vamos a ver cómo se puede resolver sistemas el comando fundamentales son y aquí tenemos que hacer lo siguiente si queremos resolver esta ecuación tenemos que escribir que es x + 6 un doble igual 0 una coma y la letra con la que queremos trabajar como usarla de una vez x en este caso lo podríamos incluso mentir y nos dice que las soluciones menos vamos a ver tu relación un poco más complicada la escribimos 3 menos x / 3 – 1 entre 7 un doble igual 4 y la letra la solución es la que tenemos aquí y ahora vamos a resolver una un poco más complicada puesto que no tiene números solo tiene letras queremos volver a por equis p igual a cero y aquí sí que es vital que le escribamos qué letra queremos despejar queremos despejar la x si queremos despejar la al que nos da esta solución si hubiésemos querido despejar por ejemplo la dieta p también podríamos al derecho y en este caso nos daría esta solución bueno a veces estos sistemas podemos dar soluciones fraccionarias y queremos la solución con decimales en ese caso debemos utilizar el comando en eso vamos a resolver esta pero en decimales aquí nos dice que la solución es 13,2 cuando las ecuaciones sean más difíciles podemos hacer que nos den más decimales trabajando por cualquier precisión bueno hay otra manera de hacer esto es utilizar el comando reducción que prácticamente hace lo mismo que solo reduce vamos a resolver la primera de las situaciones 3 x + 6 igual igual 0 lo escribimos todo exactamente igual y aquí lo que hace es que no lo devuelve en un formato un poco distinto pero la solución que habíamos obtenido antes que aquí la tenemos es exactamente trabajaremos ahora con ecuaciones algebraicas las ecuaciones algebraicas son aquellas que al final se pueden reducir a resolver un polinomio igual vamos a empezar como unas cuantas y ver sus caracteres escribimos la primera una ecuación de segundo grado normal y corriente 5 x + 6 doble igual a 0 como sólo hay una letra no necesitamos escribir es un argumento las soluciones son 2 y 3 vamos con esta que es el cuadrado binomio y tiene una solución doble si tiene una solución doble escribe las soluciones repetidas vamos a vacunar que tiene soluciones complejas x al cuadrado menos 4 x + 5 aquí nos da los modales complejos y ahora vamos con esta que es la actuación general de segundo grado x al cuadrado por equis más de igual a cero aquí sí tenemos que escribir la letra y como vemos lo que nos da son las conocidas fórmulas para despejar la letra x en una ecuación de ese punto ahora vamos con una fórmula de quinto grado en principio las fórmulas de quinto grado no tienen por qué tener resolución algebraica santa vamos con la primera pero si quizá la fuerza más 10 x al cubo – 10 x al cuadrado más x menos 4 doble igual en este caso todas las soluciones son santas tiene una solución doble y tiene también un par de soluciones con pujas vamos con la última x quinta más x a la cuarta 2 x 1 más x al cuadrado más x más cuático los lados y en este caso no lo haga puede resolver mejorando haciendo un poco extraña que son números algebraicos.

Números Complejos

En este vídeo vamos a ver cómo podemos trabajar por los números complejos en matemática lo primero que tendremos que aprender a escribir es la unidad que imagina en matemática se escribe con la mayúscula lo ejecutamos y vemos que nos devuelve una y como una tipografía es decir esta es la olvidada imagina nosotros también lo podemos escribir de esa manera si queremos para ello tenemos que utilizar la siguiente combinación de teclas pulsamos escape luego primero una y luego otra y finalmente escape y hemos escrito la y de unidad imaginaria si lo que queremos es escribir un número complejo podemos hacerlo de dos maneras distintas 3 + 6 y no es necesario poner el x es un número completo y también se puede utilizar la función complex complex y aquí tenemos que escribir la parte real 5 como la parte imaginaria menos 9 esto nos da el número complejo 5 menos vamos a ver cómo podemos realizar estos ejercicios lo primero es calcular la raíz cuadrada de menos 1 la raíz cuadrada de menos 1 nos ha dado a la unidad imagina vamos a resolver la ecuación x al cuadrado más 1 igual a 0 en la letra x que no tiene soluciones reales y nos dicen que las soluciones y dineros y ahora vamos a calcular distintas potencias de la unidad imaginaria por ejemplo si calculamos y al cuadrado nos tiene que dar menos si calculamos y a la cuarta a la 4ª nos tiene que dar uno y así podemos hacer con todas las que queramos o bien podemos escribir y de esta manera y calcular y nos da menos para hacer operaciones con números complejos se utilizan los operadores habituales vamos a hacer una serie de operaciones vamos a trabajar con dos números número z que va a ser 315 y y otro número w que sea 3 – 2 si queremos sumar dos números complejos escribimos z más w aquí lo tenemos podemos hacer restas queremos se puede hacer multiplicaciones se puede multiplicar un número complejo por un número real se pueden dividir se puede llegar una vez inverso 1 / zeta se pueden calcular potencias está elevado a la 8 y se pueden hacer todas las operaciones que estamos acostumbrados en el cuerpo el cuerpo cumple para calcular el valor absoluto o bien la norma también llamada de un número complejo utilizamos la función a de s el módulo.

Gráficas de Funciones

En este tutorial veremos muy por encima las capacidades gráficas de matemáticas en dos dimensiones para dibujar funciones en tres dimensiones se utiliza el comando plot y al plot le tenemos que facilitar dos datos fundamentalmente uno es la función que queremos dibujar y otra es el dominio donde la queremos dibujar vamos a dibujar estas dos funciones variante para ello tenemos que escribir abrimos un corchete y escribimos nuestra función el seno de ponemos una coma y ahora tenemos que escribir el dominio de la siguiente manera escribimos la letra de la función x1 al coma y el extremo inferior del dominio de los tres el extremo superior hasta tres y esto nos dibuja una gráfica entre menos 33 lo ejecutamos y aquí vemos nuestra gráfica esta gráfica si pinchamos en ella se puede modificar para hacer más grande más pequeña y si pinchamos con el botón derecho sobre ella por la podemos guardar y aquí podemos ver que hay un montón de formatos ya que lo pueden jugar vamos a dibujar otra como puede ser x al cuadrado menos 3x en los mismos lo que podemos observar aquí es que esta unidad esto mide 1 no es lo mismo que esta unidad que tenemos matemática adapta a los ejes para que las funciones le salgan bien y se pueden dibujar varias funciones para ello en vez de escribir una única función aquí en forma de lista podemos escribir varias funciones las dos funciones ramón realista aquí tenemos nuestras dos primeras funciones y aquí tenemos el domi lo dibujamos podemos variar el dominio y tendríamos otro a cualquier dibujo en matemática se le pueden añadir un montón de opciones para ver todas las opciones que tiene el comando plot empleamos opción plot y vemos que tiene una cantidad inmensa se pueden hacer los gráficos prácticamente como queramos nosotros sólo vamos a ver unos cuantos vamos a una función sencilla como x al cuadrado la vamos a dibujar entre menos tres y tres bueno y ahora vamos a variar las cosas a esta función lo primero que le podemos variar es el aspecto radio que llama vamos a ver qué está si nosotros esto lo escribimos como 1 resulta que nuestro dibujo nos queda perfectamente para si no escribimos nada por defecto este rectángulo que sale aquí es un rectángulo ahora si nosotros ponemos aspect ratio lo ponemos en 2 nos quedaría el doble de alto que de ancho y lo hacía más interesante sin duda es automático automático lo que hace es que consigue que los ejes me dan lo mismo aquí esto mide 1 y esto es exactamente si por ejemplo lo dibuja semos entre menos 55 consciencia debe salir una función un dibujo muy estrecho y muy alto aquí lo vemos también podemos variar más cosas otro aspecto que le podemos variar es el rango el rango es el eje y donde queremos que nos dibuje el eje.

Límites

El concepto de límite es la noción fundamental del cálculo y de la topología para calcular límites en matemática utilizamos este coma pero vamos adelante es una opción nutritiva es un bien vamos a calcular este límite primero por métodos aproximados vamos a definir una función f x que sea el seno de x / x vamos a intentar calcular su valor en el 0 nos dice que no se puede puesto que hay una división entre 0 vamos a calcularlo para números que estén cercanos al cero vamos a calcular un décimo y nos da este valor lo vamos a aproximar pues si no no tendremos intuición vamos a calcularlo por ejemplo con 20 decimales si estamos suficientemente próximos al cero esto nos da cero la mente nos vamos a acercar un poco más como vemos nos vamos aquí aplicando a lo ponemos más y nos vamos acercando cada vez más al esto quiere decir que cuando esta función se acerca al 0 que es este valor el resultado de la función se va acercando también lo podemos comprobar esto conjuntivo vamos a dibujar nuestra función de fx y lo vamos a dibujar en un entorno por ejemplo desde el -1 hasta y vemos que todo parece indicar que esta función va a pasar o vamos a calcular el límite de la siguiente manera tenemos que escribir limit y aquí escribimos nuestra función como lo hemos llamado x podemos escribir y aquí escribimos la variable una flecha y el punto a donde queremos calcular el límite límite cuando existiendo y nos da uno que es lo que estábamos esperando vamos a hacer lo mismo con esta función esta función vamos a hablar del límite valor absoluto de x / x y nos damos esto nos puede llevar a pensar que esta función es continua y que su límite y sin embargo eso es incorrecto vamos a ver por qué si la dibujamos en un entorno cualquiera del 0 por ejemplo y desde el -1 hasta el 1 vemos claramente que está funcionalismo y resulta que matemáticas siempre calcula los límites por defecto por la derecha aquí hemos calculado un límite por la derecha porque no le hemos dicho nada para variar la dirección de los límites utilizamos este comando si aquí ponemos menos 1 estamos calculando el límite por la derecha y efectivamente nos da 1 pero si ponemos 1 estamos calculando el límite por la izquierda y vemos que ambos límites no coinciden y que por lo tanto la función no es.

Derivadas

En este tutorial calcularemos derivadas de funciones el comando para hacer derivadas es de machos para derivar una función como esta tendremos que escribirlos y mayúscula la expresión que queramos derivar 3x al cuadrado más 8x coma y la letra con la que estamos deriva aquí tenemos nuestro final vamos a hacer otra derivada en la siguiente que tiene la letra i y en la quinta menos 6 y el jugo y ahora la derivamos es live si tenemos una función de dos variables como sucede con esta y por x al cuadrado la podemos derivar con respecto a x y obtenemos la derivada con respecto a x o la podremos derivar con respecto a y estamos haciendo derivadas parciales y vamos a ver nuestra última derivada la derivada de x elevado a n con respecto a x que es la conocida fórmula de bajar un grado al exponente esta es una manera de hacer las derivadas pero hay otra que muchas veces es más cómoda consiste en definir funciones vamos a llamar efe a la siguiente función 3 x cuadrado más 8 x ya tenemos definido nuestra función ahora para la derivada podemos utilizar la notación prima de matemáticas efe prima de x nos da la derivada colocando efe segunda calcule haríamos la segunda vamos a ver cómo podemos hacer derivadas de orden superior si queremos hacer una derivada de orden 5 lo podremos hacer de dos formas la derivada de la expresión seno de 6x y aquí podremos poner cinco veces una equis y estaremos haciendo la derivada con respecto a x cinco veces para saber qué es lo que estamos haciendo podemos utilizar la orden con foro otra confort que no hace nada simplemente nos dice qué es lo que estamos calculando estamos calculando la derivada quinta de esta cocina hay otra manera de hacer este cálculo más es la siguiente la derivada del seno de 6x y ahora aquí tenemos que escribir la letra y el orden de la derivada como vemos nos da lo mismo podemos poner wolford para ver qué nos dice y nos dice que es la derivada de grado 5 de distancia ahora vamos a hacer una derivada parcial con respecto a las variantes la derivada del seno de 4 x + 6 si y vamos a hacer lo siguiente con respecto a x lo vamos a llevar 2 veces y con respecto a y lo vamos a derivar tres veces lo escribimos de esto aquí tenemos nuestra lima matemática también puede trabajar con funciones simbólicas si ponemos una expresión de una función que no tengan nada asignado los derivar a aplicando las reglas de derivación por ejemplo si yo quiero hacer la derivada de f de x con respecto a x pues me dice que es esta que tenemos aquí eso es porque la función se tenía asignado un bar vamos a borrar el valor la función f ahora éste ya no tiene nada así si hacemos la derivada de f x con respecto a x nos dice que es f prima si por ejemplo hacemos la derivada de un producto bueno dice que la derivada del primero por el segundo se deriva las fórmulas.

Integrales

Mathemática nos puede liberar de la tediosa tarea de realizar integrales para realizar integrales utilizamos el comando interno que se usa de la siguiente manera si queremos integrar x a la quinta lo escribimos y después de una coma escribimos la letra con respecto a la que estamos íntegra ejecutamos y nos da esta integral no escribe la apuesta se puede integrar con respecto a otras letras no hay ningún problema por ejemplo el segundo ejercicio que tenemos -5 hoy pero aquí le tenemos que decir que la variable con la que integramos es la y vamos con otra integral x por el seno x con respecto a x y aquí lo tenemos vamos a comprobar que hemos hecho bien e integrada derivando esta expresión vamos a copiarla y vamos a calcular la derivada la privada de esta expresión también podríamos haber utilizado el tanto por ciento con respecto al x y nos queda x poder coseno davis lo que nos confirma que la integral está bien muchas ganas integrales que existen no se pueden hacer o dan funciones especiales no se pueden expresar todas las integrales en función de funciones elementales paga la renta vamos a ver algunas de ellas por ejemplo está integrada de la exponencial de menos x al cuadrado pues no es expresable en función de las funciones conocidas por todos no lo haga en función de la función error que más que nada es la definición de la integral vamos con otra hoy vamos a hacer la integral la función y nos dan sen interna otra función especial y muchas no las puede resolver porque se ha demostrado matemáticamente que el conjunto de integrales que se pueden hacer es de medida nula o sea que prácticamente ninguna integral se puede resolver de forma cerrada para hacer integrales indefinidas se utiliza el mismo comando pero tenemos que variar un poco el segundo si queremos integrar 4x al menos 4x y lo queremos integrar desde 0 hasta el 4 pues escribimos la variable coma el límite inferior como el límite superior todo ello una lista y aquí tenemos nuestro resultado vamos a hacer ahora una integración de un coche del cosena de x lo vamos a integrar entre 0 y he dividido entre 2 y la integral padre 1 vamos como té integral del seno x x entre 0 y 4 está integrando era capaz de hacer la mente nada más que con funciones especiales entonces nos da este valor normalmente cuando ocurre esto lo mejor es utilizar un método numérico para hacer las integrales y para ello se utiliza el comando n internet y nos lo da con decimales si lo que queremos es tener el resultado con más decimales podemos trabajar con working precisión working preciso y ponerle por ejemplo que lo queremos con 20 decimales aquí tenemos la resulta el método empleado para integrar numéricamente lo escoge matemática y ahora vamos a hacer integrales impropias las integrales impropias pueden pasar dos cosas que algunos de los límites sea infinito o que la función no esté acotada pero aún así tenga sentido calcular entera como integrante.

Vectores

Para trabajar con vectores debemos saber que los tenemos que escribir siempre entregadas en matemáticas los vectores son un ejemplo de una estructura de datos llamada lista bueno pues definimos el vector u que va a ser el 357 también definimos el vector v de la misma manera 2,5 9 y como estos vectores podemos hacer operaciones por ejemplo podemos hacer la suma una sube y tenemos este resultado podemos hacer la resta 1 – v y podemos hacer combinaciones lineales por ejemplo 31 menos 5 y también se pueden hacer con vectores operaciones a las que no estamos acostumbrados en matemáticas porque no son operaciones vectoriales si nosotros cogemos un y lo multiplicamos por un b lo que hacemos es multiplicar componente a componente estos vectores 2 por 3 son 6 es el primer resultado 5 x menos 5 etc si lo que hacemos es un al cuadrado lo que estamos haciendo es elevar cada una de las componentes de igual cuadrado y si escribimos por ejemplo un título en trigo estamos hallando el inverso de todos los componentes vamos a ver cómo podemos dibujar vectores en dos y en tres dimensiones para ello tenemos que utilizar el comando ar vamos a ver cómo se usa utilizamos el formato marrón de la siguiente manera aquí tenemos que escribir una lista por lo tanto lo encerramos entre ya no es y aquí tenemos que escribir el primer punto el punto va a ser el 0 0 puesto que nuestro vector va a partir de 0 0 y va a llegar hasta el punto 3 comandos de esta manera creamos una flecha pero esto no lo está dibuja para dibujarlo tenemos que utilizar el comando graphics si venimos aquí y lo dibujamos aquí nos aparece nos aparece un poco solo y es muchas veces conveniente poner los ejes poniendo que los ejes con esta orden si aparecen y ahora ya nos aparecen los ejes y el ciclo también se puede hacer el dibujo en tres dimensiones y se hace prácticamente igual escribimos arroz tenemos que escribir el 0 0 0 puesto que para allí podríamos dibujarlo en cualquier otro punto y 2 3 1 cerramos vemos que hemos ejecutado bien y ya lo tenemos que utilizar el comando graphics 3d y aquí nos aparece con el ratón podemos moverlo y si queremos también que nos ofrezcan los ejes pues de la misma manera lo hacemos y aquí nos aparecen los jefes con las nominaciones el producto escalar y el producto vectorial se hacen con dos funciones específicas que son 2 y cross vamos a estos vectores en lo que es el 232 lo tenemos que encerrar entre llaves y el vector va a ser 1 2,1 para calcular el producto escalar tenemos dos formas de hacer una es escribir un punto v no se puede escribir un asterisco y no esta es otra manera es utilizar la función dot.

Matrices

Se introducen matrices y se realizan todo tipo de operaciones con ellas. Se calculan determinantes, inversas, transpuestas,… Se analiza el rango y la reducción por filas de la matriz. Se extraen submatrices.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se resuelven sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatibles con distintos comandos.

Estadística Descriptiva

Se calculan las principales medidas estadísticas: varios tipos de medias, mediana, moda, varianza, desviación típica, desviación media, simetría, curtosis, momentos, momentos centrales, correlación y covarianza.

Gráficos Estadísticos

En este tutorial vamos a ver cómo se pueden realizar gráficos estadísticos básicos con matemáticas a través de las opciones que tienen se pueden mejorar mucho la calidad de estos gráficos pero no la información matemática lo primero que vamos a ver es cómo se hace una tabla de frecuencias cuando tenemos datos para no escribir los datos vamos a generar un vector de 100 números aleatorios entre el 1 y el 6 eso sería similar a tirar 100 veces un dado y apuntar sus resultados vamos a llamar a los datos a y los vamos a generar rando integre y aquí diremos que los datos nos van a ir desde el 1 hasta el 6 y que van a ser 100 datos aquí tenemos nuestras 100 tiradas y unidades lo que vamos a hacer lo primero es hacer una tabla de frente con la función tal y se calcula una tabla de c en realidad esto es una matriz vamos a verlo en forma matricial para apreciar mejor la tabla bueno aquí nos dice que el 4 ha salido 14 veces el 5 20 veces etcétera podríamos copiar estos datos a mano pero vamos a ver cómo se puede extraer la tabla diferencias lo primero que tenemos que hacer es ordenar los datos para que nos quede primero el 1 pues el 2 bueno pues si el 1 ha salido 19 veces el 2 12 veces y ahora para extraer esos datos utilizamos el doble por tchité extraemos todas las filas y la columna 2 y ya tenemos nuestra tabla con los datos si lo que queremos es dibujar el diagrama de barras a estos datos que tenemos le aplicamos la función park chang y nos dibuja un diagrama básico de barras si lo queremos en tres dimensiones para mejorar el aspecto práctico nada más tecleamos tres de aquí lo tenemos y también podemos hacer con estos datos un diagrama de sectores page art nos da el diagrama podemos pinchar y hace este efecto y también podemos hacerlo en tres dimensiones que hace exactamente lo mismo lo podemos girar y dejarlo más adecuado a la presentación que queramos hacer si tenemos muchos datos continuos lo primero que tendremos que hacer es tabular los para ello tendremos que dividirlo en clases.

Factorización de Matrices

La factorización de matrices o también descomposición de matrices consiste en dados la matriz a escribirla con un producto de matrices más matemática tiene implementado en muchos algoritmos de descomposición vamos a ver el primero que es la descomposición en eeuu que es muy útil por ejemplo a resolver sistemas vamos a introducir esta matriz en el sistema la tenemos ya copiada de memoria la ejecutamos y la acercamos en el sistema debemos tener en cuenta que la descomposición y muchas veces no es posible a veces debemos preguntar las filas de la matriz para poderlo conseguir empezamos a escribir el comando y la ayuda de matemáticas desproporción al resto el resultado de este comando consiste en tres objetos el primero es una matriz que ahora veremos que es una mezcla de las matrices l este segundo es un vector qué tiene que ver con las permutaciones necesarias que debemos realizar sobre la matriz a para poder realizar el algoritmo y el tercero carece de interés en este momento puesto que sólo se usa cuando estamos realizando cálculos en coma flota aquí estamos realizando los cálculos con números de precisión vamos a meter todos estos resultados en tres variables la matriz a la vamos a visualizar y es una mezcla de las matrices l para conseguir la matriz l debemos hacer lo siguiente la matriz que consiste en esta parte inferior y la diagonal llena de unos vamos a escribirla 100 nos pasamos a la siguiente línea empezamos copiando en los 21 y 0 puesto que es triangular inferior y vamos con la última 4 coma nueve quintos y terminamos con esta nuestra matriz n la matriz también está incorporada en esta matriz es la matriz triangular que aparece la vamos a cocinar y es 121 pero puesto que es triangular superior 5,3 ahora dos ceros y el último que es menos 85 para comprobar que efectivamente está la descomposición en eeuu vemos que es triangular inferior de otras células superior las multiplicados l x lo vemos en forma matricial y aquí la tenemos como vemos estas dos matrices no son iguales puesto que hay una permutación de las filas eso es de lo que nos de lo que nos informa la segunda parte del comando l aquí tenemos 132 esto dice que la fila 1 se queda como esta que la fila 3 se ha pasado a la fila 2 y que el afilador se ha pasado a fin antes como aquí tenemos para hacer la descomposición de una matriz tenemos que utilizar el comando qr descomposición el resultado de este comando son dos matrices hasta aquí llega la primera madre la vamos a guardar en dos variables como efe y podemos ver cada una de ellas la primera que es esta y la segunda en esta se observan claramente que es triangular superior y esta matriz que tenemos aquí tiene que ser una matriz ortogonal.

Diagonalización de Matrices

El cálculo de auto vectores y auto valores y su aplicación a la diagonal ica ción de matrices es una de las partes más importantes del álgebra vamos a encontrar digamos a mano los auto valores y auto vectores de esta matriz la tenemos ya introducida en el sistema y vamos a proceder de la siguiente manera lo primero que tenemos que hacer es a nuestra matriz a restarle la matriz identidad en este caso de orden 3 multiplicada por una letra normalmente se llama landa nosotros la llamamos x esto nos da una matriz que depende de x si calculamos el determinante de esta matriz obtenemos un polinomio en x este es nuestro polino llamado polinomio característico si resolvemos este polinomio obtenemos los auto valores de la matriz vamos a resolver con respecto a x y nos dice que los auto valores son 0 3 y 3 para hallar los auto valores debemos proceder de la siguiente manera cogemos la matriz le restamos la matriz identidad de orden 3 y la multiplicamos por cada uno de los autores en este caso la multiplicamos por 0 que va a dar lugar a la matriz y ahora tenemos que calcular el núcleo de esta nueva materia el núcleo se calcula cuando space ejecutamos y nos dice que menos 231 es un auto vector de auto valor cero vamos a comprobarlo cogemos nuestra matriz a lo multiplicamos por ese vector y se tiene que anular puesto que el auto vector el auto valor es cero aquí lo tenemos ahora hacemos lo mismo con el otro auto valor 3 hacemos lo mismo y en este caso nos da 2 auto valores líneas 2 auto vectores linealmente independientes vamos a comprobar que efectivamente los cogemos este por ejemplo y nos tiene que dar al multiplicarlo por el mismo pero multiplicado por tres efectivamente no lo han multiplicado por tres bueno todo esto lo tiene implementado matemática en un montón de comandos que vamos a ver cómo se usa tenemos nuestra matriz que la tenemos aquí escrita y lo primero que tenemos que saber es si es diagonal.

Cálculo Vectorial

Cuando tenemos una función vectorial de rn en rn la podemos entender como un campo vectorial un campo vectorial asocia un vector a cada punto matemática tiene comandos para dibujar campos vectoriales en dos y tres dimensiones vamos a dibujar este campo vectorial en tres dimensiones para ello vamos a definir el vector i como el 10 marcará la dirección del eje x y el vector j el 0 marcará la dirección del césped ahora vamos a construir nuestro vector que llamaremos un nuestro campo vectorial v será y por n – x por j si lo tecleamos aquí lo tenemos podríamos haber creado directamente esta expresión y no haber construido el vector il y el j para dibujar un campo en dos dimensiones utilizamos vector plot lo primero que le tenemos que facilitar es el campo lo hemos llamado después de una coma tenemos que darle la primera variable x y tenemos que darle el dominio de esa variable la vamos a dibujar desde -2 hasta 2 y ahora tenemos que hacer lo mismo con el siguiente variable la y va a variar desde -2 hasta 2 lo ejecutamos y aquí tenemos nuestro campo vectorial ahora vamos con un campo vectorial en tres dimensiones se utiliza el comando vector cloud 3d y se utiliza de manera análoga vamos a escribir aquí el campo 2x por y coma 4x como 5 de transporte y ahora tenemos que poner nuestras coordenadas y desde donde a dónde va la equis lo vamos a volver a hacer desde -2 hasta 2 la y vice también desde minutos hasta dos para que no se nos deforma el campo y la z va a ir también desde menos dos astados por ejecutarlo tenemos un campo de historial en tres dimensiones manejando las opciones que tienen estos comandos se puede conseguir una presentación mucho ahora vamos a pasar a los operadores vectoriales los operadores vectoriales que actúan sobre funciones son el gradiente en la plastia no y l7 para el gradiente y en la plantea no matemática tiene comandos predefinidos para él es ya no no por lo tanto lo tendremos que construirlos.

Transformada de Laplace

Se calcula la transformada de Laplace de varias funciones. Se comprueba, gracias al cálculo simbólico, alguna de las propiedades de la transformada de Laplace. Se calcula paso a paso una transformada aplicando las propiedades. Se calcula también la transformada de Laplace inversa.

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial que es una actuación donde aparece al menos una derivada de una función nosotros sólo vamos a trabajar con ecuaciones diferenciales ordinarias donde la función dependerá de una única letra que en general de notaremos por equis para escribir las ecuaciones diferenciales se pueden escribir con esta anotación o también se puede escribir con la notación diferencia lo primero que vamos a ver es comprobar que estas funciones de aquí son soluciones de estas ecuaciones diferenciales para ello hacemos la derivada de la función exponencial y si nos da ella misma entonces es solución la derivamos por lo tanto la primera el solución multiplicamos 7 por equis y vemos que el resultado es 7 x elevado x estas dos funciones son soluciones de esta ecuación diferencia naturalmente tiene muchas otras vamos ahora con el coseno de lo derivamos dos veces y si es solución de esta ecuación diferencial nos tiene que dar menos coseno de x al hacer es efectivamente hacemos lo mismo como el seno y nos dan cambiado de sí y vamos a ver que esta expresión que depende de dos constantes también es solución multiplicamos a por el seno de por el coseno de x nos tiene que dar esa misma expresión cambiar de sí aquí lo tenemos la primera parte cambia de signo y la segunda cambia de sí hasta ahora hemos comprobado que si nos dan una función es solución de una ecuación diferencial pero no hemos sido capaces de encontrar las funciones para ello tenemos que utilizar el comando t son las dos primeras con mayúscula y se ejecuta de la siguiente manera si queremos resolver esta ecuación que tenemos aquí tenemos que escribirla como i prima de x y prima es el nombre de la función y x es la variable de la que va a depender un doble signo igual como en todas las ecuaciones y tiene que ser igual ahí y hay que poner explícitamente que y depende de después ponemos una coma ponemos la letra que hemos utilizado para la función en este caso la i y la letra que hemos utilizado para la variable aquí tenemos nuestra solución aquí aparece la solución es una exponencial multiplicada por una constante herritar ya la constante la denota matemática c1 cuando aparezcan más constantes las den a tara c 2 vamos a ver cómo se puede extraer esta parte de esta lista vamos a llamar a esta solución a y vamos a hacer lo siguiente si empleamos el doble corchete y ponemos 1 extraemos el primer elemento de la vista como vemos lo que hacemos es quitar las llaves exteriores si ponemos otro uno extraemos el primer elemento de la lista que nos quedaba hemos quitado sociales y ahora queremos extraer la segunda parte pues para ello ponemos juntos de esta manera se extrae la función que luego utilizaremos para comprobar qué solución de la ecuación diferencial.